Высокие статистические технологии

Возникла у меня следующая задача.
Пусть Х1, Х2, ..., Хn -- зависимые СВ c непрерывным распределением. Зависимость такая: все Xi неотрицательны и X1+X2+...Xn=1.

Хотелось бы иметь следующий критерий значимости. Пусть р1, р2, ..., pn -- положительные числа, сумма которых равна 1. Тогда гипотезы критерия выражаются в следующем виде:

Н0: P{Xi < pi} = P{Xi > pi} = 1/2 для всех i = 1, 2, ..., n.
H1: для некоторых j P{Xj < pj} <> P{Xj > pj}.

Таким образом, по смыслу критерия проверяется гипотеза, что "доли" СВ Xi равны pi для всех i, а единица -- это целое. Например, такая задача может возникнуть в каком-нибудь химическом анализе.

Предположим, что мы имеем массив наблюдений
(x_{1j}, x_{2j}, ..., x_{nj}), j = 1, 2, ..., m.

Было бы естественным ввести величины s_{ij}, равные 1 при x_{ij}-pi > 0 и 0 при x_{ij}-pi < 0, i = 1, 2, ..., n (как в критерии знаков).
При верной Н0 распределение Si (думаю, понятно, что Si значит) подчинено биномиальному распределению c параметром 1/2.
Т. е. (S1, S2, ..., Sn) -- совокупность биномиальных распределений с параметром 1/2 и очевидно, зависимых.

Можно было бы на основании величин (s_{1j}, s_{2j}, ..., s_{nj}), j = 1, 2, ..., m, соорудить какую-нибудь статистику критерия, но оказалось, что совокупное распределение (S1, S2, ..., Sn) зависит от исходного многомерного распределения (Х1, Х2, ..., Хn), хотя в предположениях и гипотезах распределение не участвует . Зависимость я проверил экспериментально для n = 3, думаю, что это несложно показать и теоретически.
Хотелось бы узнать, имеются ли какие-либо подходы к решению этой задачи?

1. Задача не поставлена, поскольку распределение
не определено однозначно. Одна ситуация, если все СВ равны, другая - если имеем условное распределение независимых случайных величин при условии

2. Возникла ассоциация с критерием согласия хи-
квадрат.

3. Нечеткость формулировок возникает и далее:
Тут уже нет n, но есть nj и m...

Прошу прощения, если задачу поставил некорректно. Попробую уточнить.
Имеем набор n СВ Х1, Х2, ..., Хn. Если они равны, то из условия X1+X2+...Xn=1 следует, что все Xi = const = 1/n. Это нас не интересует. Может, оказаться, конечно, что СВ Х1, Х2, ..., Хn не равные (не тождественные) CВ, а одинаково распределенные СВ. Тогда будет выполняться P{Xi < 1/n} = P{Xi > 1/n} =1/2, i = 1, 2, ..., n.

Теперь то, что имелось ввиду:
Предполагается, что совместное распределение (Х1, Х2, ..., Хn) таково, что любой выборочный вектор (x1, x2, ..., xn) из этого распределения удовлетворяет условию: x1+x2+...xn=1. Например, пусть X1 = U(0, 1), X2 = 1 - X1. Тогда совместное распределение случайного вектора (X1, X2), порожденное, конечно, одной СВ, удовлетворяет этому свойству (x1+x2=1).


Итак, вектор (x_{1j}, x_{2j}, ..., x_{nj}) получен как реализация векторной СВ (Х1, Х2, ..., Хn). Это наблюдение в матрице данных под номером j. Т. е. x_{ij} -- реализация j-го наблюдения над СВ Xi. И критерий, как всегда, должен применяться к массиву наблюдений.

Если n = 2, то требуется проверить, что определенное число есть медиана случайной величины, т.е. гипотезу о том, что параметр биномиального распределения равен 1/2. Если n > 2, то из-за того, что зависимость случайных величин может быть произвольной, никакого разумного критерия построить нельзя.

А если очень хочется?
Тем более задача не взята с потолка, а имеет важные применения. Если на форуме никто подобного не видел, буду думать.