Высокие статистические технологии

Здравствуйте, уважаемый Александр Иванович и гости форума.
В ходе работы мне понадобилось проверить три выборки на однородность. Я изучил несколько монографий и учебников по данной тематике. Большую часть возникших вопросов я смог решить своими силами, но упёрся в критические точки и вопросы применимости критериев. Прошу о помощи, поскольку уже почти утонул в литературе. Постараюсь сформулировать вопросы кратко:

- В большинстве источников указано требование непрерывности. Мои данные, это три дискретные выборки с вариантами в диапазоне от 1 до 20 с шагом в 1. Всего 123 ответа.
- В книге "Приладная статистика" (Айвазян, Енюков, Мешалкин) сказано, что критерии можно использовать для дискретных значений с потерей уровня значимости. Ссылка про это даётся на книгу "Теория ранговых критериев" (Гаек, Шидак). Я её скачал только вчера, но пока не смотрел.
1) Правильное ли я взял направление? Рекомендуете ли вы пользоваться указанными источниками?
2) Стоит ли вообще применять критерии Смирнова и Колмогорова для дискретных данных или лучше использовать что-то другое?

- В справочнике Большева и Смирнова есть таблицы только для выборок объёмом до 20. У меня объём выборок 22, 25, 76.
- Из книг Большева и Смирнова, Айвазяна, Кобзаря я нашёл аппроксимации, но они рекомендуются только для больших выборок.
3) Есть ли таблицы для моих объёмов выборок? Есть ли аппроксимации, которые я могу использовать?

- Большая часть критериев, которые я нашёл работают только с парами выборок. Так, например, в книге Айвазяна рекомендуется брать результаты попарных сравнений и искать среди них наихудший. Там же есть ссылка на источник с таблицами для трёх выборок, но это польская книга 1979 года. Вряд ли я её смогу найти.
Ещё я нашёл метод оценки независимости классификаций ("Статистические методы в педагогике и психологии", Гласс и Стэнли), который упонимается, как хи-квадрат у Айвазяна и в вашей книге "Математика случая". Однако там указано, что этот метод применим для больших (опять же) объёмов выборок.
4) Какой метод вы посоветуете для моих условий? Достаточно ли надёжен метод хи-квадрат для моих объёмов выборок?

- В вашей книге "Прикладная статистика" (и соответствующей статье) приводится критика метода Стьюдента и предлагается метод Крамера-уЭлча для его замены.
5) Правильно ли я понял, что для меня оба метода бесполезны, поскольку они предназначены для конкретных статистик выборок, а не для ответа на вопрос об однородности?

- Много литературы посвящено ранговым критериям, однако у меня большое количество повторений. Для ранговых же критериев (в том числе и в ваших работах) я постоянно читаю про нулевую вероятность повторений для непрерывных выборок. Я нашёл на форуме вашу рекомендацию обратиться к книге Новикова "СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ (ТИПОВЫЕ СЛУЧАИ)". Там приводится расчёт критерия Вилкоксона-Манна-Уитни, где учитываютса многократные повторения значений.
6) Правильно ли я понял, что этот критерий как раз подходит под мои условия в том виде, в котором его описал Новиков?

Надеюсь, что у вас будет время рассмотреть мои вопросы и по возможности дать мне советы для решения имеющихся проблем. Спасибо.

Здравствуйте, Сергей!

Вы сформулировали много вопросов.
Для ответа на них нужны строгие постановки.

Чтобы разбираться, сначала укажите вероятностно-статистическую модель. Бывает однородность характеристик и абсолютная однородность (совпадение функций распределения). Важен вид альтернативных гипотез.Критерий Крамера-Уэлча предназначен для проверки однородности математических ожиданий.

Теория ранговых критериев основана на непрерывности функций распределения, из чего вытекает нулевая вероятность совпадений элементов выборок. В реальных данных бывают совпадения. Как поступать, написано в статье:
МОДЕЛЬ АНАЛИЗА СОВПАДЕНИЙ ПРИ РАСЧЕТЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ РАНГОВЫХ СТАТИСТИК
А. И. Орлов
https://www.zldm.ru/jour/article/view/589

Для объемов выборок, для которых нет таблиц, применяют асимптотические результаты. Современные компьютеры позволяют провести самостоятельные расчеты.

В литературе много ошибок. Из приведенных Вами фамилий доверия заслуживают только Большев и Смирнов.

Разбирайтесь!

Спасибо за ответ. Буду разбираться.