Высокие статистические технологии

Здравствуйте!

Подскажите, как применить критерий "шесть сигма" при выборочном контроле качества?

Замеров не проводится, модель выборки биномиальная (годен/брак), поэтому дисперсия = p(1-p)/n;
посчитал доверительный интервал.

Смотрел пример для нормального распределения, но непонятно, как посчитать в случае биномиального распределения, когда нет отклонений, а только 2 варианта?

Буду благодарен за любые подсказки.

Не понимаю вопрос.
Что имеете в виду под
?

Александр Иванович, приведу пересказ страницы из книги "Производственный и операционный менеджемент" Изд. дом "Вильямс", 2004, на основе которой и поставлена проблема.

Шестисигмовые контрольные границы - это пределы, соответствующие шести среднеквадратическим отклонениям.
СКО вычисляется на основе замеров реальных размеров деталей при заданном проектном размере (например 1.2 +-0.005 см).

Если на основе замеров мы получили СКО = 0,002 см, то для трехсигмовых контрольных границ получаем +-0.006 см.

Если считаем распределение нормальным, то в данный интервал попадает 99,7% продукции и мы получаем большую долю брака, т.к. в проекте задано +-0.005 см.

Разделим указ. допуск (+-0.005 см) на 6 и получим допустимое отклонение процеса +-0.00083 см. При таком отклонении мы можем ожидать что только 3 детали из 1000 выйдут за трехсигмовые контрольные границы, у нас же шестисигмовые границы, и можем ожидать 2 брак. изделия на миллиард.

Сразу прошу прощения за отрывочность примера, если надо, напишу еще подробнее.

Мой же вопрос, как оценить число бракованных изделий (напр. тоже на миллиард), если мы не проводим замеров (только визуальный контроль), для каждого экземпляра из контрольной партии (1000 штук) просто принимается решение Годен/брак, - соответственно можно использ. биномиальную модель выборки?

P.S. Вашу книжку "Прикладная статистика" читал.

Пусть взято n = 1000 изделий, из них годных 900 и дефектных m = 100. Тогда доля дефектных изделий р* = 0,1 и среднее квадратическое отклонение этой доли есть квадратный корень из р*(1-р*)/n = квадратный корень из 0,1х0,9/1000 = 0,0095, для простоты 0,01. Тогда шестисигмовые границы есть 0,1+-0,06 (от 0,04 до 0,16).
Это утверждение получаем, если согласно теореме Муавра-Лапласа приближаем биномиальное распределение с помощью нормального.
При более строгом подходе надо учесть отклонение биномиального распределения от нормального. Этим занимались многие - Феллер, Бернштейн, Прохоров. См. о неравенстве Берри-Эссеена в "Прикладной статистике", с.231-232.
Рекомендации прикладного характера от учете отклонения биномиального распределения от нормального мне неизвестны.
Ясно, однако, что "хвосты" биномиального распределения сильно отличаются от "хвостов" нормального распределения.
Вряд ли можно ожидать "2 брак. изделия на миллиард". Ясно, что можно ожидать от 4% до 16% бракованных изделий. А "2 на миллиард" - это оценка шансов получить долю дефектности вне интервала от 4% до 16%. А эта оценка получена на основе теоремы Муавра-Лапласа. Точность такой оценки надо исследовать.

Здравствуйте.

Сразу извинюсь за малограмотные предыд. вопросы, только сейчас начал вникать поглубже.

Вроде при выборочном контроле партии распределение числа брак. изделий гипергеометрическое.

Далее, в Вашей книге говорится, что при N>10n можно перейти к бином. распределению. На уровне формул переход понятен, но когда я смотрю в каких случаях применяются эти распределения, все кажется иначе: если проверить (испытать) всю партию, а не выборку, то число брак. изделий сразу будет распределено биномиально, т.е. переход осуществляется при N=n?

И правильно ли я понял, что с точки зрения выборочн. контроля применение того или другого распределения связано именно с соотношением N/n (1, >10, ...)?

Рассматривают две модели выборки:
а) гипергеометрическая;
б) биномиальная.
Две модели принципиально отличаются по своим исходным постулатам.

Гипергеометрическая модель исходит из того, что имеется генеральная совокупность (объема N), в которой часть изделий - годные, а остальные - дефектные. Из генеральной совокупности случайным образом отбирается выборка (объема n). Тогда число дефектных изделий в выборке имеет гипергеометрическое распределение.

В биномиальной модели нет генеральной совокупности. Рассматриваются результаты контроля n изделий. Предполагают, что результаты контроля - независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие два значения - 1 (изделие дефектно) и 0 (изделие годно). Тогда число дефектных изделий в выборке имеет биномиальное распределение. Естественно считать при этом, что для всех элементов генеральной совокупности результаты контроля - независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие два значения - 1 (изделие дефектно) и 0 (изделие годно).

Чисто математически установлено, что при N > 10 n гипергеометрическое и биномиальное распределения мало различаются, и этм различием можно пренебречь. Отсюда вытекает, в частности, что при N > 10 n свойства плана контроля практически не зависят от объема генеральной совокупности.

Если же N < 10 n, то необходимо учитывать, какую модель выборки Вы выбрали.

Александр Иванович,
Написанное вами в прошлом ответе я уже знаю; видимо, я плохо сформулировал вопрос.

Но главная проблема такая: требуется обеспечить уровень качества примерно 2.7 бракованные единицы на тысячу. Но мы не можем делать слишком боьшие выборки и тем более проверять всю партию.

Если же размер выборки около 150 единиц, при альтернативном контроле (2 значения параметра - годен/брак) в такой выборке вообще не должно быть дефектных единиц, если же хоть одна бракованная, надо браковать всю партию или проверять ее целиком.

Теперь я думаю, что гипергеометрическое распред. использовать некорректно из-за малой наблюдаемой частоты.
Есть ли подходящее для данного случая распределение (Пуассона видимо также не подходит, хотя события действительно редкие)?

Т.е. нужно распределени вероятности того, что в выборке (не во всей партии) вообще не будет бракованных изделий. Что Вы посоветуте?

Если вероятность дефектности (для одного изделия) равна р, испытания независимы, то вероятность того, что в выборке объема n не будет ни одного дефектного изделия, равна (1 - р) в степени n.
Сам факт того, что статистический контроль не может обеспечить гарантии качества, когда дефектность мала, обсуждается в главе 13 "Эконометрики", раздел 13.4, пункт "Основной парадокс теории статистического приемочного контроля".

«ШЕСТЬ СИГМ» - НОВАЯ СИСТЕМА ВНЕДРЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

А.И.Орлов

В XXI веке основное внимание исследователей и управленцев переносится с разработки отдельных математических методов исследования на системы внедрения таких методов в практическую деятельность предприятий и организаций. В статье обсуждается новая система внедрения математических методов исследования «Шесть сигм».

Как улучшить качество продукции и организацию производства? Как увеличить эффективность управления предприятием? Как повысить качество научных исследований? Как оптимизировать деятельность центральной заводской лаборатории? Все эти проблемы - вечные. Их решали и сто лет назад, и пятьдесят, решают и сейчас. Но по-разному.
Последние десятилетия волна за волной накатывают на руководителей и специалистов все новые сочетания слов и стоящие за ними концепции: комплексные системы управления качеством продукции, АСУ, стандарты ИСО серии 9000, ИСУП, контроллинг... И в каждой волне есть что-то новое и что-то давно известное. Основное в очередной новации - иное направление взгляда на старые проблемы и методы.
И вот появилось еще одно новое модное поветрие - система «Шесть сигм». Что стоит за этими словами, наводящими на мысли о статистических методах (греческой буквой «сигма» традиционно обозначают показатель разброса статистических данных)?

Основные идеи системы «Шесть сигм»

Как сказано в недавно выпущенной книге [1], «Шесть сигм» - это более разумный способ управлять всей компанией или отдельным ее подразделением (например, литейным цехом или центральной заводской лабораторией). Фактически речь идет о развитии системы управления качеством и контроллинга на предприятии, в организации, фирме, компании. Концепция «Шесть сигм» ставит на первое место потребителя товаров и услуг и помогает, как утверждают ее разработчики, находить самые лучшие решения, опираясь на факты и данные. Она нацелена на три основные задачи:
- повысить удовлетворенность клиентов;
- сократить время цикла (производственного, операционного);
- уменьшить число дефектов.
Внедрение «Шести сигм» дает значительный экономический эффект. Исполнительный директор корпорации General Electric Джек Уэлч объявил в ежегодном докладе, что всего за три года система «Шесть сигм» сэкономила компании более 2 миллиардов долларов [1].
Совершенно справедливо систему «Шесть сигм» рассматривают как «революционный метод управления качеством». Согласно «Шести сигмам» следует стремиться к достижению самого малого (из возможных) разброса контролируемого параметра по сравнению с полем допуска. Точнее, желательно добиться, чтобы ширина поля допуска была по крайней мере в 6 раз больше типового разброса «плюс-минус сигма». Отсюда и название - «Шесть сигм». Соотношение поля допуска с полем разброса (в «сигмах») связывают с числом дефектов (на миллион возможностей) и с выходом годной продукции (в %). Так, 6 «сигм» согласно [1] соответствуют 3,4 дефектов на 1000000 возможностей, или выходу годной продукции 99,99966%.
А пока столь высокий уровень качества не достигнут, можно оценивать ситуацию в «сигмах». И промежуточная задача может формулироваться так: с уровня 2,5 «сигма» подняться до уровня 4 «сигма».

Инструменты системы «Шесть сигм»

С помощью каких интеллектуальных инструментов достигается успех в системе «Шести сигм»? Перечислим их.
Это инструменты генерации идей и структурирования информации - экспертные оценки (различные варианты сбора информации и голосования, мозговой штурм и др.), диаграммы (сродства, древовидные, «рыбий скелет» - схема Исикава), блок-схемы.
Это инструменты сбора данных - разнообразные варианты выборочного метода, всевозможные методики измерений (наблюдений, анализов, опытов, испытаний). Сюда же относятся методы определения «голоса потребителя» (т.е. предпочтений потребителей), контрольные листки, а также инструменты систематизации данных - электронные таблицы и базы данных.
Третья группа - инструменты анализа процессов и данных - анализ течения процесса, добавленной ценности, различные графики и диаграммы. В том числе диаграмма Парето, график временного ряда (тренда), диаграмма разброса (корреляционное поле). Затем - многочисленные инструменты статистического анализа (описание данных, оценивание и проверка статистических гипотез, методы корреляции и регрессии, классификации, снижения размерности, планирования экспериментов, анализа временных рядов, статистики нечисловых и интервальных данных и др.).
Наконец, четвертая группа - инструменты реализации решений и управления процессами. Среди них - методы управления проектами (планирование, бюджетирование, составление графиков, оптимизация коммуникаций, управление коллективом, диаграммы Ганта и др.). А также анализ потенциальных проблем, изучение видов и последствий отказов, анализ заинтересованных сторон, диаграмма поля сил, документирование процесса, сбалансированная система показателей и «приборная» панель процесса.
Таким образом, инструментарий системы «Шести сигм» весьма широк. Эти интеллектуальные инструменты помогают принимать правильные решения, решать проблемы и управлять переменами. Среди них, как следует из проведенного выше перечисления, основное место занимают различные математические методы исследования, прежде всего статистические и экспертные инструменты. Однако нельзя считать, что система «Шести сигм» и инструменты «Шести сигм» - это одно и то же.

В чем новизна системы «Шесть сигм»?

Как справедливо подчеркнуто в цитированной книге о системе «Шести сигм», возможно, вы говорите себе: «Мы уже давно делаем кое-что из этого». И уж, безусловно, вы читали почти обо всем из названных выше инструментов, в том числе на страницах нашего журнала. Совершенно бесспорно, что многое в концепции «Шести сигм» не ново. Что действительно ново - так это соединение всех этих элементов системы и ее инструментов в согласованный процесс управления.
Действительно, различные виды инструментов повышения эффективности управления организацией, ее подразделениями, отдельными направлениями деятельности известны давно. Чтобы их успешно использовать, НУЖНА СИСТЕМА ВНЕДРЕНИЯ. Необходима тщательно разработанная методика создания и функционирования творческих коллективов, занимающихся анализом ситуации, подбором и внедрением современных инструментов управления. Такая методика и создана в системе «Шесть сигм». В этом и состоит суть нового шага в науке и практике управления предприятием и его подразделениями.

Шесть основных элементов системы «Шесть сигм»

Выделяют [1] шесть основных элементов, составляющих квинтэссенцию системы «Шесть сигм». Это
- ориентация на потребителя;
- управление на основе данных и фактов;
- процессный подход (где действия, там и процессы);
- проактивное управление (основанное на прогнозировании);
а также два социально-психологических базисных положения:
- безграничное сотрудничество;
- стремление к совершенству без боязни поражений.
Конечно, каждый из этих элементов сам по себе хорошо известен в теории и практике управления (менеджмента). Дело в системе «Шесть сигм», в которую они объединены. В частности, в этой системе подробно расписаны роли различных участников команды - «черные пояса», «зеленые пояса», «мастера черных поясов», «чемпионы». В самих названиях ролей подчеркнута роль команды проекта по внедрению системы «Шесть сигм», соревнования между подразделениями и специалистами, энтузиазма в работе (аналогичного спортивному азарту), продвижения на основе освоенных знаний и полученных результатов (в спорте - переход от пояса к поясу). Весьма важна основополагающая роль членов высшего руководства компании, лично занимающихся развитием системы «Шесть сигм».
Анализ системы «Шесть сигм» показывает, что, несмотря не некоторое своеобразие терминов, связанное с корнями этой системы (лежащими в проблемах управления качеством), фактически «Шесть сигм» - это глубоко проработанная система внедрения современных подходов к управлению предприятием и его подразделениями, прежде всего контроллинга, на основе широкого и продвинутого использования математических методов исследования. Отметим большое место, которое занимают математические методы исследования, прежде всего статистические и экспертные методы, среди ее инструментов. Система «Шесть сигм» трудоемка, на внедрение нужны годы. Но и эффект велик.

Проблемы внедрения математических методов исследования

Полезно проанализировать изменение представлений о проблемах внедрения современных научных достижений в отечественную практику. В качестве примера для обсуждения рассмотрим теорию и методы планирования эксперимента, об истории которых в нашей стране рассказано в [2]. Как известно, локомотивом работ по планированию эксперимента в нашей стране являлся «незримый коллектив» под руководством В.В. Налимова, основные научные идеи и результаты их практического внедрения рассматривались на страницах нашего журнала.
Очевидно, совершенно необходимый первый этап - разработка самой научной теории до той стадии, когда предлагаемые рекомендации уже можно использовать на практике. Основной результат этого этапа - методические разработки и образцы внедрения. Для планирования эксперимента первый этап в основном завершился к началу 1970-х годов.
Термин «завершился» требует уточнения. Научные исследования, разумеется, продолжались после 1970 г. Они продолжаются сейчас, и будут продолжаться в дальнейшем, поскольку любая научная область может - при наличии энтузиастов - развиваться до бесконечности. Речь о другом - к началу 1970-х годов была создана методическая база для массового внедрения.
Следующий этап - пропаганда возможностей методов планирования эксперимента, преподавание и подготовка кадров. В статье [2] рассказано о многочисленных акциях 1960-70-х годов в этом направлении. Казалось, что дальше всё пойдет самотеком. Но не получилось. Широкого потока внедренческих работ не последовало. Блестящие работы не стали образцами для подражания.
И не только для планирования эксперимента. Примерно так же развивалась ситуация с внедрением экономико-математических методов. Хотя были и некоторые незначительные отличия. Удалось организовать Центральный экономико-математический институт РАН, а вот академического института по планированию эксперимента нет до сих пор. И Межфакультетская лаборатория статистических методов МГУ им. М.В.Ломоносова, которая занималась развитием теории и внедрением методов планирования эксперимента, расформирована в середине 1970-х годов. Были и другие примеры того, что организационные успехи по тем или иным причинам не удавалось закрепить [2].
Стало ясно, что создания методов и их пропаганды недостаточно. Выявилась необходимость перехода к третьему этапу - этапу разработки организационных форм, обеспечивающих широкое внедрение. Наиболее ярким проявлением этого этапа было учреждение в 1990 г. Всесоюзной статистической ассоциации (ВСА), объединяющей - прежде всего в секции статистических методов - специалистов по математическим методам исследования [3]. В статье [4] тех лет, посвященной проблемам внедрения прикладной статистики и других статистических методов, была развернута программа создания сети научно-исследовательских и внедренческих институтов по этой тематике, аналогичной сети метрологических организаций. К сожалению, все эти глобальные планы организации внедрения рассматриваемых методов в государственном масштабе остались нереализованными из-за развала СССР и развертывания экономических «реформ» 1990-х годов, приведших к сокращению (в разы!) объемов научных исследований и численности работников в сфере науки и научного обслуживания.
Сейчас мы находимся на четвертом этапе. Надо разрабатывать и широко использовать новые организационные формы внедрения математических методов исследования на отдельных предприятиях. С похожими проблемами сталкиваются разработчики крупных информационных систем управления предприятиями (типа SAP R/3, Oracle, JD Edwards, Baan), занимающиеся их внедрением в конкретных организациях [5]. В частности, необходимо создание соответствующей службы под непосредственным началом одного из высших руководителей организации. Недаром внедрение контроллинга - современных методов управления предприятиями - обычно начинается именно с создания службы контроллинга и прорабатывания ее взаимодействия со всеми остальными структурами предприятия [6].
Система «Шесть сигм» ценна, прежде всего, своей организационной составляющей. Той, которой не уделяли внимания на ранних этапах истории внедрения современных математических методов исследования. Система «Шесть сигм» дает алгоритмы практической деятельности по организации внедрения. Чем она и интересна для отечественных специалистов.

Литература

1. Панде П., Холп Л. Что такое «Шесть сигм»? Революционный метод управления качеством / Пер. с англ. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. - 158 с.
2. Маркова Е.В., Никитина Е.П. / Заводская лаборатория. 2002. Т.68. No.1. С.112-118.
3. Орлов А.И. / Вестник Академии наук СССР. 1991. No.7. С.152-153.
4. Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1992. Т.58. No.1. С.67-74.
5. Орлов А.И., Гуськова Е.А. / Контроллинг. 2003. № 1(5). С.52-59. 6. Карминский А.М., Оленев Н.И., Примак А.Г., Фалько С.Г. Контроллинг в бизнесе. Методологические и практические основы построения контроллинга в организациях. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 256 с.
7. Фалько С.Г., Орлов А.И. «Шесть сигм» как подход к совершенствованию бизнеса. - Журнал «Контроллинг». 2004. No.4(12). С.42-46.