Высокие статистические технологии

Александр Иванович, помогите, пожалуйста, разобраться. По каким формулам осуществляется расчёт статистик, по которым осуществляется проверка гипотезы согласия с равномерным распределением по критерию Колмогорова, если параметры теоретического распределения неизвестны? По каким критическим значениям следует проверять значения вычисленных статистик?

P.S. Данная тема затрагивается в книге А.И. Кобзаря. Прикладная математическая статистика (2006) - С. 330 - 331, однако, судя по написанному на Вашем форуме, в книге есть ошибки. Следует ли тогда доверять тому, что указанный автор написал по проблеме проверки гипотезы согласия с равномерным распределением по критерию Колмогорова

Заранее спасибо

Если теоретическое распределение полностью задано, то (классическое) распределение статистики Колмогорова хорошо известно.
Если теоретическое распределение принадлежит некоторому параметрическому семейству, а параметры неизвестны и оцениваются по выборке, то распределение статистики Колмогорова будет принципиально иным. Например, при проверке согласия с нормальным семейством (математическое ожидание и дисперсия оцениваются по выборке) процентные точки распределения статистики Колмогорова примерно в 1,5 раза меньше, чем в классическом случае (см. раздел "Непараметрическое оценивание функции распределения" в книге "Математика случая" http://orlovs.pp.ru/stat.php#k3 , бумажное издание этой книги: Орлов А.И. Вероятность и прикладная статистика: основные факты: справочник. – М.: КНОРУС, 2010. – 192 с. - продается в Интернет-магазинах).
Общий обзор дан в статье: Орлов А.И. О критериях согласия с параметрическим семейством. - Журнал "Заводская лаборатория". 1997. Т.63. No.5. С. 49-50. http://orlovs.pp.ru/stat.php#s1p.
Вы пишете о "проверке гипотезы согласия с равномерным распределением по критерию Колмогорова, если параметры теоретического распределения неизвестны". Т.е. неизвестны начало и конец интервала, на котором плотность постоянна и положительна? Какие оценки используются для концов интервала? Как в этом случае будет распределена статистика Колмогорова, мне неизвестно.
Больше всех знает по рассматриваемой проблеме профессор мехмата МГУ им. Ломоносова Юрий Николаевич Тюрин.

Спасибо, Александр Иванович, за быстрый ответ! Многое я теперь поняла

А если использовать выборочные оценки для концов интервалов, существуют ли статистики критерия Колмогорова для равномерного распределения?

Как я понимаю, в упомянутой книге А.И. Кобзаря для критерия Колмогорова для равномерного распределения определяется статистика Dn (как мне кажется по классической формуле типа sup(F(x)-F'(x)), а D*n находится по формуле D*n=(Dn+0,4/т)*(sqrt(n) +0,2+0.68/sqrt(n)). Но данная книга вызывает у меня недоверие на основании замечаний Вашего форума и собственного опыта, а исследование хочется провести добросовестно.

P.S. Простите за, наверное, безграмотное описание, только начала изучать серьёзную статистику

Основной член - это D*n=(Dn)*sqrt(n), остальное - поправки. Когда-то считалось, что они ускоряют сходимость, потом от них отказались.
Проблема в том, что для каждого конкретного параметрического семейства распределение основного члена D*n=(Dn)*sqrt(n), в котором вместо параметров использованы их оценки, имеет при росте объема выборки предел, однако этот предел сильно меняется от одного семейства к другому и сильно отличается от случая, когда вместо оценок стоят истинные (теоретические) значения параметров.
Особенно часты ошибки с поверкой нормальности. Примеры приведены в теме "Профессора-невежды готовят себе на смену новых невежд" http://forum.orlovs.pp.ru/viewtopic.php?t=548 .

Статистики, конечно, существуют, ибо статистика - это функция от результатов наблюдений. Предельное распределение, наверно, тоже существует, если, например, оценка нижнего конца - это минимум выборки, а оценка верхнего конца - максимум. Но каково это предельное распределение - мне неизвестно.