Высокие статистические технологии

Добрый день!

Сегодня впервые на Форуме уважаемого А. И. Орлова. Не могу найти доказательств следующего факта:

Пусть Х1, Х2 -- СВ, и r(X1,X2) -- их коэффициент корреляции Пирсона. Генерируем пары (X_{1,i}, X_{2,i}) точек из Х1, Х2. Пусть r_n -- выборочный коэффициент корреляции Пирсона для n пар. Доказано ли, что r_n -> r(X1,X2) по вероятности при n -> \infty?

Под парой (X_{1,i}, X_{2,i}) я понимаю, конечно, пару СВ (X1,X2), т. е. мы имеем ряд пар (X_{1,i}, X_{2,i}) i = 1, 2, ....

Выборочные средние арифметические сходятся к соответствующим математическим ожиданиям, выборочные дисперсии - к теоретическим. Непрерывная функция от четырех переменных - выборочных средних арифметических и выборочных дисперсий - сходится к пределу - значению той же функции от математических ожиданий и теоретических дисперсий.

Спасибо, Александр Иванович. Я тоже так думал, но были сомнения насчет дисперсий, не видел явно такой теоремы.
Интересно, для центральных моментов какого порядка это свойство (сходимость выборочного ц. момента к теоретическому) выполняется? Если несложно, прошу дать ссылки.

Проще рассматривать начальные моменты (центральные через них выражаются). И применять закон больших чисел. Выполняется (по теореме Хинчина) при существовании теоретических моментов. См. главу 4 в учебнике "Прикладная статистика" http://orlovs.pp.ru/stat.php#k1

Спасибо, начинаю разбираться.